Para hallar la derivada por definición se utiliza la formula siguiente:

ahora, con esto determinanos las siguientes derivadas.

Dado que esta es una función compuesta por varias sumas, utilizaremos la regla de suma de derivadas.
la regla de suma define que la derivada de .

Usando las siguiente asociación diremos que donde.

ahora, calculamos la derivada de cada función por separado.

Graficamente.

El limite de f(x) cuando x tiende al valor a es igual a R.

Propiedades.
Constantes:
El limite de una constante siempre es la constante.

Sobre la suma:
El limite de una suma de funciones es igual a lim de la primera función más el limite de la segunda.

Sobre el producto:
El limite de una multiplicación de funciones es igual a lim de la primera función por el limite de la segunda.

Sobre la división:
El limite de una división de funciones es igual a lim de la primera función partido por el limite de la segunda.

Sobre la potencia:
El limite de una potencia de funciones es igual a lim de la primera función elevado al limite de la segunda.

función de funciones:
El limite de una función en función de otra, es la función del limite de la función interna.

Propiedades originadas de las anteriores.
Constantes por Función:
El limite de una constante por una función es la constante por el limite de la función.

Para hallar la derivada por definición se utiliza la formula siguiente:

ahora, con esto determinanos las siguientes derivadas.

Calculamos de f’(x).

Por lo tanto la derivada de es.

Para hallar la derivada por definición se utiliza la formula siguiente:

ahora, con esto determinanos las siguientes derivadas.

Dado que en esta función se visualiza una division se aplica regla de la división.
la regla de la division define que la derivada de .
Por lo tanto, calcularemos las derivadas de cada una por separado.

Calculamos de f’(x).

ahora calculamos g’(x)

ahora remplazamos en la regla de la división.

entonces concluimos que la derivada de la función original es.

Para hallar la derivada por definición se utiliza la formula siguiente:

ahora, con esto determinanos las siguientes derivadas.

Dado que esta es una función compuesta utilizaremos regla de la cadena.
la regla de la cadena define que la derivada de .
Por lo tanto, calcularemos las derivadas de cada una por separado.

Calculamos de f’(x).

Ahora, igualamos h a 0, dado que ya no se indetermina.

con lo que podemos decir que la derivada es:

reducimos terminos semejantes.

con esto tenemos la primera parte del ejercicio.

ahora calculamos g’(x)
para esto usamos la misma logica.

factorizamos para simplificar el ejercicio.

desarrollamos el cuadrado de binomio.

reducimos terminos semejantes.

factorizamos por h para eliminar de la división por h.

Ahora, igualamos h a 0, dado que ya no se indetermina.

con lo que podemos decir que la derivada es:

ahora como lo que deseamos calcular es la derivada de y dijimos que era , reemplazamos.

Por lo tanto, la derivada original es.

Identidades trigonométricas pitagóricas:
Se entiende por identidades trigonométricas pitagóricas a las obtenidades de la teorema de Pitágoras sobre el triangulo rectángulo, como se observa en la siguiente figura.

Triangulo Rectángulo:

Teorema de Pitágoras:
Este establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (h) es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos (c.a. y c.o.), la formula es la siguiente:

Identidades trigonométricas derivadas del teorema de Pitágoras:

Del teorema de Pitágoras se desprende la llamada Identidad Trigonometrica Fundamental, que se define por:

De la anterior aplicando transformaciones simples podemos obtener las siguientes identidades:

Con estas, reglas básicas, podemos simplificar la mayoría de las ecuaciones trigonométricas.

Suma y Diferencia de ángulos sobre funciones trigonométricas:
Se puede demostrar según la Fórmula de Euler o mediante la proyección de ángulos consecutivos. La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y las restantes de la recíproca correspondiente.

Identidades del Doble de un ángulo
Las identidades del doble de un ángulo o ángulo doble se obtienen de las identidades anteriores considerando el mismo ángulo en las dos variables.

Identidades Reducción de Exponentes
Permiten transformar de una función de segundo grado a una ecuación de primer grado.